સામાન્ય માન્યતા એવી છે કે, ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંતની શોધ ૧૭મી શતાબ્દીમાં ન્યૂટને કરી હતી. પણ ન્યૂટને શોધ કરી તેનાં પ૦૦ વર્ષો પહેલાં જ ભારતના ૧૨મી શતાબ્દીના ગણિતશાસ્ત્રી ભાસ્કરાચાર્યે આ વિષે ‘સિદ્ધાંત શિરોમણિ’ નામના ગ્રંથમાં લખ્યું હતું :
आकृष्टशक्तिश्च मही तया यत् खस्थं गुरु स्वामिमुखं स्वशक्त्या ।
आकृष्यते तत् पततीव भाति, समे समन्तात् क्व पतत्विदं खे ।।
‘આ પૃથ્વી પોતાની આકર્ષણ શક્તિ દ્વારા આકાશમાં અવસ્થિત પદાર્થોને સતત પોતાના કેન્દ્રની તરફ ખેંચી રહી છે. તેનું જે આકર્ષણ કરવું છે, તેથી જ એમ લાગે છે કે પદાર્થો જાણે નીચે પડી રહ્યા છે. જ્યાં બધી તરફ બધું સમાન છે ત્યાં કોણ કોના પર પડે?’
આ ગ્રંથ ત્રણ ભાગમાં અંગ્રેજી અનુવાદ સાથે – બનારસ હિન્દુ યુનિવર્સિટી (BHU) દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો છે. મધ્યયુગીન ભારતના આવા પ્રખર ગણિતશાસ્ત્રી ભાસ્કરાચાર્યની અદ્વિતીય પ્રતિભાની કેટલીક રસપ્રદ વાતો અહીં વાચકોના લાભાર્થે રજૂ કરીએ છીએ. – સં.
ભાસ્કરાચાર્ય અથવા ભાસ્કર એક અનુપમ અને પ્રખર પ્રતિભાશાળી ગણિતશાસ્ત્રી હતા, જેની વિવિધરંગી પ્રતિભા મધ્યયુગીન ભારતમાં પલ્લવિત થઈ. આધુનિક ઇતિહાસકારો માટે તેઓ ચર્ચાનો વિષય છે અને હકીકતમાં અન્ય સમકાલીન વૈજ્ઞાનિકોની જેમ ભાસ્કરાચાર્યના જીવન વિષે પણ ઇતિહાસને આવશ્યક વિગતો પ્રાપ્ત થતી નથી. સામાન્ય રીતે જે વિગતો મળે છે તે ભાસ્કરનાં ગ્રંથોના લહિયાઓએ ગ્રંથના અંતિમ ભાગમાં લખેલી નોંધો – જે મોટે ભાગે પાછળના સમયમાં લખાઈ છે તે જ પ્રાપ્ય છે. ઇતિહાસકારો ભાસ્કરાચાર્યનું જન્મસ્થળ નક્કી કરી શક્યા નથી જે આજના કોઈ સ્થળ સાથે બંધબેસતું હોય, જો કે ભારતના પશ્ચિમ ઘાટોમાં જ કોઈક સ્થળે તે હતું તેટલી માહિતી નિશ્ચિત છે. તેમના જન્મની તિથિ પ્રમાણમાં વધુ નિશ્ચિત થઈ છે અને તે ઈ.સ.૧૧૧૪ની ગણવામાં આવે છે.
ભાસ્કારાચાર્યે વિપુલ પ્રમાણમાં લેખન કાર્ય કર્યું છે. તેમણે ખગોળશાસ્ત્ર, જ્યોતિષશાસ્ત્ર, ગણિતશાસ્ત્ર, કાવ્યશાસ્ત્ર, ધર્મ આદિ જેવા વિવિધ ગહન વિષયો પર ગ્રંથો લખ્યા છે. તેમની યાદગાર પ્રતિભા એક ગણિતશાસ્ત્રી તરીકેની છે, ખાસ કરીને ‘બીજગણિતશાસ્ત્રી’ તરીકેની, અને તે માટેના તેમના ગ્રંથો ગણિત શિક્ષણના ગ્રંથો તરીકે ભારતમાં શતકોથી વપરાતાં આવ્યાં છે. આજના આધુનિક વિદ્વાનો તો કલ્પી પણ ન શકે કે તેમનો કોઈ ગ્રંથ, ગમે તેટલો વિદ્વત્તાપૂર્ણ કેમ ન હોય, તો પણ, કોઈ વિષયમાં સાતસો સાતસો વર્ષ સુધી શિક્ષણગ્રંથ તરીકે વપરાઈ શકશે!
ઈ.સ. ૧૮૬૫માં મહારાષ્ટ્રના પટણા (આજનું પટણા શહેર નહિ) નામના ગામમાં એક શિલાલેખ મળી આવ્યો. તેમાંના વર્ણન મુજબ ઈ.સ. ૧૨૦૭માં ત્યાંના સ્થાનિક શાસકે ભાસ્કરાચાર્યના ગ્રંથોના અભ્યાસ માટે એક શિક્ષણ સંસ્થાને વિશિષ્ટ દાન આપ્યું હતું. આ શિક્ષણસંસ્થાના સ્થાપક ચાંગદેવને આ દાન મળ્યું હતું, જેઓ પોતે ભાસ્કરાચાર્યના પૌત્ર હતા. આ શિલાલેખમાં ભાસ્કરાચાર્યની વંશાવળીની શરૂઆત એક પૌરાણિક સમ્રાટ, જેઓ એક કવિ પણ હતા, તેવા શાંડિલ્યગોત્રથી થાય છે, અને ભાસ્કરાચાર્યના પૌત્ર ચાંગદેવ સુધી પહોંચે છે. ભાસ્કરાચાર્યના લગભગ બધા જ પૂર્વજો પ્રખર વિદ્વાનો હતા; તેમાનાં કેટલાક સ્થાનિક શાસકોને મુખ્ય પંડિત કે પુરોહિત અને મુખ્ય જ્યોતિષી તરીકે સેવાઓ આપતા રહ્યા હતા.
આ શિલાલેખથી જાણવા મળે છે કે તેમને પૌત્ર હતો, તેનો અર્થ એમ થયો કે ભાસ્કરાચાર્ય એક કુટુંબધારી – ગૃહસ્થ- હતા. દુર્ભાગ્યે તેમનાં વંશજોમાં કોઈ પુત્ર વિષે ઉલ્લેખ નથી, પણ તેમને એક પુત્રી હોઈ શકે છે ખરી. આ બાબતે એક દંતકથા આપણે જાણીએ છીએ અને તે અહીં રજૂ કરીશું.
ભાસ્કરની પુત્રી લીલાવતીનો જન્મ એક વિચિત્ર અને દુર્ભાગ્યપૂર્ણ સમયે થયો. જ્યારે લીલાવતીનાં લગ્નનો પ્રશ્ન ઊભો થયો, ત્યારે પોતે જ ત્યાંના સૌથી વધુ વિદ્વાન જ્યોતિષી હોવાને કારણે સ્વાભાવિક રીતે ભાસ્કરાચાર્યે પોતે તેના જન્માક્ષર માંડ્યા, જેથી તેને માટે સુયોગ્ય વર અને લગ્નનું મુહૂર્ત શોધી શકાય. જન્માક્ષર જોતાં જ ભાસ્કરાચાર્યને આઘાત લાગ્યો કેમ કે તેના પરથી એ સ્પષ્ટ થતું હતું કે જો આ કન્યા લગ્ન કરશે તો તુરત જ વૈધવ્યને પ્રાપ્ત કરશે. આ સ્થિતિમાં તો કોઈ લગ્નની ગોઠવણ કરી ન શકાય! આથી લીલાવતીની માતા, ભાસ્કરાચાર્ય અને કુટુંબના અન્ય સભ્યો ઘણા દુ:ખી થયાં. પણ તેમણે કોઈએ લીલાવતીને આ બાબતની ગંધ પણ આવવા દીધી નહીં. અન્ય કુટુંબીજનોનાં સૂચનોથી પ્રેરાઈને અને આ સમસ્યાનો કંઈક ઉકેલ લાવવા માટે ભાસ્કરાચાર્ય ફરીથી એક વાર જન્માક્ષરના ગ્રહોની ગણતરી કરવા બેઠા. એમણે ખૂબ જ કાળજીથી ગણતરી શરૂ કરી, જેથી પહેલાના તેમના ભવિષ્ય કથનને ખોટું પાડે તેવો કોઈ એક મોકો મળી રહે. અને થોડા જ વખતમાં જુઓ! એમણે લીલાવતીના જન્માક્ષરની ગણતરીઓ વારંવાર કરી અને તેમને જે એક નવું સમયાલેખન પ્રાપ્ત થયું, તે મુજબ જો લીલાવતી એક ખાસ વરને પરણે અને એમના લગ્નનો સમય જો ખાસ પળ-ક્ષણ માટે સૂચકતાથી જળવાય, જે પળ- ક્ષણ થોડા જ મહિનાઓમાં ગ્રહણ ભ્રમણોમાંથી આવવાની હતી, તો તે વર મૃત્યુ ન પામે અને તેમની પુત્રી પણ સુખી દાંપત્ય ભોગવી શકે તેમ હતું. લીલાવતી માટે તેના જીવનમાં કેવળ આ એક જ એવી પળ આવવાની હતી, જે સાચવવાનું ખૂબ જરૂરી હતું.
(આ જે દંતકથા આપણા સુધી પહોંચી છે, તેમાં ભાસ્કરના જ્યોતિષની ગણતરીઓમાં કે ભવિષ્યકથનમાં કોઈ પ્રકારે ભૂલ હોય કે ખોટું કર્યું હોય તેવી કોઈ જ સંભાવના વિષે કહેવાતું સુદ્ધાં નથી. કુટુંબના કોઈ પણ અન્ય સભ્યો કે મિત્રો પણ એમની ગણતરીઓના સત્ય વિષે કદી સંદેહ પ્રગટ કરતાં બતાવાયાં નથી. આજે પણ ભારતમાં ઘણાં કુટુંબો જ્યોતિષીઓને લગ્નના નિર્ણયો અંગે અને અન્ય કૌટુંબિક પ્રસંગોના નિર્ણયો અંગે ઘણું જ માન આપે છે. એટલું જ નહિ, તેમના નિર્દેશો અનુસાર ચાલે પણ છે.)
પછી તો એક સુયોગ્ય વર પણ શોધી કાઢવામાં આવ્યો અને લગ્નની તૈયારી થઈ. જે પુરોહિત લગ્નવિધિ કરાવવાના હતા તેને સમય સાચવવામાં સહાય થાય તે માટે ભાસ્કરે અતિ ચોકસાઈવાળું અને વાળુ-યંત્રના સિદ્ધાન્ત પર આધારિત ઘડિયાળ બનાવ્યું. તે મુજબ, પુરોહિતે લીલાવતીના કન્યાકાળમાંથી વિવાહિતકાળમાં જતી પળને એ રીતે સાચવવાની હતી કે ઉપરના ખાનામાંથી વાળુ નીચેના ખાનામાં ખાલી થઈ જાય તે પળે આ પરિવર્તનનો વિધિ કરવાનો હતો. આ ઘડિયાળની રચના માટે ભાસ્કરાચાર્યે અતિ પરિશ્રમ ઉઠાવ્યો. ઉપરનું ખાનું પણ યોગ્ય રચનાનું બનાવવાનું હતું. નીચેના ખાનામાં જતું કાણું પણ યોગ્ય પરિઘનું હોવું જરૂરી હતું. અને વાળુને પણ ખાસ સાફસૂફી કરીને એકસરખી રીતે પડતી રહે તે માટે ચાળી કરી સાફ કરવામાં આવી હતી. આ બધું જ કામ ખૂબ જ ચીવટ અને કાળજીથી કરવામાં આવ્યું. એ પછી તે યંત્રની પરીક્ષા પણ લેવાઈ, વારંવાર લેવાઈ, જેથી તેમની ગણતરીની ચોકસાઈ અને આકાશી ગ્રહોના ભ્રમણમાં કેવળ એક વાર આવતી અતિ દુર્લભ પળને ચૂકી ન જવાય, અને તેમની પુત્રી સુખી દાંપત્યનું જીવન વીતાવી શકે.
આ ઘડિયાળ તૈયાર થયું અને તેને એક ખાનગી કક્ષમાં મૂકી દેવામાં આવ્યું. એક ગણતરીની પળે તેને ભાસ્કરાચાર્યે ચલિત કર્યું. કેવળ પુરોહિત સિવાય અન્ય કોઈએ પણ તેના કક્ષમાં ન જવું તેવું કડક સૂચન સૌને અપાઈ ગયું. એમ લાગે છે કે ભાસ્કરાચાર્યને સંદેહ હતો કે તાપમાનમાં જરા સરખો ફેરફાર, કે હવાની આછી લહેર, કે પછી કોઈના હાથ લગાડવાથી પણ આ ઘડિયાળનું ધારેલું કામ આગળ-પાછળ થઈ જઈ શકે અને તેથી તેની ચોકસાઈ નષ્ટ થઈ શકે છે.
બઘી જ તૈયારીઓ થઈ ગઈ. મહેમાનો આવી ગયાં જે આખા દિવસની વિધિમાં ભાગ લેવાનાં હતાં. વિધિ પણ શરૂ થઈ. પણ ભાગ્ય કે પછી કોઈ ગ્રહ – પાસે પોતાની જ ગણતરી હતી.
લીલાવતી એક બુદ્ધિશાળી અને ચંચળ કન્યા હતી અને એની પ્રબળ જિજ્ઞાસાવૃત્તિથી તેના માતાપિતા પણ ઘણી વાર હેરાન થઈ જતાં. પોતાના પિતાનાં વૈજ્ઞાનિક ઉપકરણોમાં તેને અત્યધિક રસ હતો. સામાન્ય રીતે તો તેના પિતા એ બધાંની ચર્ચા તેની સાથે કરતા, તેનું કાર્ય સમજાવતા અને તેમાંના ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ત્રના સિદ્ધાન્તો પણ સમજાવતા પરંતુ, આ વખતે તેના પિતાએ એક રહસ્યમય વૈજ્ઞાનિક ઉપકરણ તૈયાર કર્યું અને તે વિષે તેની સાથે કોઈ ચર્ચા ન કરી એટલું જ નહિ તેને પોતાના કક્ષમાં રાખ્યું. પોતાના લગ્નની વિધિઓમાં આવેલ થોડા વિરામના સમયે લીલાવતી ચૂપકીદીથી તે કક્ષમાં પહોંચી ગઈ અને તે વાળુ – યંત્રની ઘડિયાળ તેને ખૂબ જ ગમી. તેણે ઉપરથી જ ડોકું કરીને તેમાં નજર નાખી અને નીચે અને નીચે ઝરતી વાળુને જોઈને આનંદિત થઈ. આ આશ્ચર્યજનક ચીજથી તેનાં નેત્રો ચમકવાં લાગ્યાં અને તેને વિસ્મય થવા લાગ્યું કે આ ઉપકરણને અને તેના લગ્નને શો સંબંધ હોઈ શકે?
કક્ષની બહારથી અચાનક જ કશોક અવાજ થવાથી લીલાવતી ચમકી ઊઠી, પોતાનું ડોકું એકાએક ઊંચું કરીને તે વાળુના ઉપરના ખાના પાસેથી ખસી ગઈ. પણ આમ કરતાંની સાથે જ, તેની જાણ વિના જ, તેણે પહેરેલાં અનેક ઘરેણામાંથી એક મોતી તૂટીને વાળુમાં પડી ગયું. પિતાની આજ્ઞાનું ઉલ્લંઘન કરતાં પોતે પકડાઈ જશે એ ડરથી લીલાવતી એ કક્ષમાંથી દૂર સરકી ગઈ. ધીમે ધીમે વાળુના સરકવામાં મોતી પણ ભળી ગયું અને એક સરખું નીચે જવાનાં કાણા તરફ વળવા લાગ્યું. પણ એ કાણામાંથી તે નીચે જવા માટે જોઈએ તે કરતાં વધુ મોટું હતું. અને પછી એ યંત્ર જે અત્યાર સુધી ઘણી ચોકસાઈથી પળ અને ક્ષણની ગણતરી કરી રહ્યું હતું તેમાંથી આ વાળુ નીચે સરકતી બંધ થઈ.
પુરોહિત પોતાના (મદદનીશ) સહાયકને વાળુ-યંત્રમાં ઉપરના ખાનામાં વધેલી વાળુ વિષે તેના કક્ષમાં વારંવાર મોકલી સ્થિતિ જાણી લેતા હતા. પણ તે છોકરો બહુ બુદ્ધિશાળી નહોતો, ઉપરના ખાનામાંથી વાળુ નીચે જતી અટકી ગઈ છે તે નોંધ્યા વિના જ, તે ઉપરના ખાનામાં તો હજી વાળુ છે, એવા જ સમાચાર આપ્યા કરતો હતો. એક હાથની લગભગ ૬ ઈંચ ઉપર બીજો હાથ રાખીને તે પુરોહિતને વારંવાર સમજાવતો રહ્યો કે લગભગ આટલી વાળુ હજી બાકી છે. પુરોહિત તો વાળુ ખાલી થાય તે ક્ષણની રાહ જોતા બેસી રહ્યા અને વાટ જોતા મહેમાનોને અધીરા ન થવા માટે સમજાવતા રહ્યા, અને વળી વિધિમાં શ્લોકો ઉમેરી તેને લંબાવવા લાગ્યા.
એકાએક ભાસ્કરાચાર્યને થયું કે અત્યાર સુધીમાં વાળુ ખાલી થઈ જ ગઈ હોવી જોઈતી હતી, જેથી લગ્નના સંસ્કાર પૂર્ણ થાય. તેથી છેવટે તેઓ સ્વયં તે ઘડીયાળને જોવા ગયા અને અલબત્ત તેમણે તેની ખામી શોધી કાઢી. તેઓ અત્યંત હતપ્રત થઈ ગયા, તેમનો તો જાણે વિધ્વંસ થયો હતો. આ આઘાતમાંથી કળ વળતાં તેમને થોડો સમય લાગ્યો. કક્ષમાંથી બહાર નીકળી, ખૂબ વેદનાથી તેમણે આ લગ્નવિધિને બંધ કરાવી. માંડવે આવેલા વરને પાછો વાળ્યો, જે ખૂબ વિચલિત થયો. લીલાવતીને પણ પોતાના ઓરડામાં વળાવી દેવામાં આવી, અને બે દિવસો સુધી તેનું કરુણ રુદન ચાલ્યા કર્યું.
પછીથી, કદાચ લીલાવતીના લગ્નના વિનાશક અનુભવને સહેજ ઓછો કરુણ કરવાના પ્રયત્નથી ભાસ્કરાચાર્યે તેને ઉચ્ચ ગણિતશાસ્ત્રના સિદ્ધાન્તોનો અભ્યાસ કરાવવો શરૂ કર્યો. એ પણ શક્ય છે કે અંકગણિત તેમ જ બીજગણિતના શાસ્ત્રોમાં તેઓ કોઈ સર્વસંગ્રાહક વિશદ ગ્રંથની રચના કરવા ઈચ્છતા હતા અને આ એક તક તેમણે આ સમયે ઉઠાવી જેથી લીલાવતીના હૃદયનું દુઃખ અને માનસિક પરિતાપ ઓછાં થાય. આ પગલું સહેજ વિશિષ્ટ પણ ગણાય, કેમ કે સામાન્ય રીતે તે સમયમાં કન્યાઓને ઉચ્ચ અભ્યાસ કરાવાતો નહિ, પણ લીલાવતીએ પોતાના પિતાના શિષ્ય બનવાનું પસંદ કર્યું, અને દંતકથાનુસાર, તે સ્વયં એક વિદ્વાન ગણિતશાસ્ત્રી બની ગઈ હતી. જો કે કોઈ વૈજ્ઞાનિક ગ્રંથની રચના લીલાવતીએ કરી હોય એવો કોઈ પુરાવો મળતો નથી. વળી એકાદ લખેલો ગ્રંથ પણ મધ્યયુગીન વૈજ્ઞાનિક વિષે કોઈ વિશેષ વાત કહેતો પણ નથી. વળી એમ પણ કહી શકાતું નથી કે કોઈ ‘લીલાવતી’ જેવી કન્યા અસ્તિત્વમાં કદી હતી.
ભાસ્કરાચાર્યના આ ગ્રંથનું નામ છે ‘લીલાવતી’, આ સમયના અંકગણિત, બીજગણિત અને ભૂમિતિના સર્વજ્ઞાનનું આ સર્વવર્તી સંકલન (Compendium) છે એમ કહી શકાય. ભારતીય વૈજ્ઞાનિક મૂળ ગ્રંથોમાં એક કન્યાનું નામ ગ્રંથશીર્ષક તરીકે પણ એકમેવ છે, વિશિષ્ટ છે. ઉપરાંત, ‘લીલાવતી’ માત્ર શીર્ષક જ નથી, ગ્રંથમાં તેને, એટલે કે લીલાવતી નામની કન્યાને ઉદ્દેશીને વાક્યો ઉચ્ચારાયાં છે, જેમ કે, ‘બાલે, આ દાખલો ગણો,’ ‘કાન્તે, આ ગણતરી કરો,’ ‘મૃગાક્ષી, પેલા દાખલાનો શો જવાબ છે?’ વગેરે.
ભાસ્કરાચાર્યની એક મહત્ત્વની સિદ્ધિ છે, પાયથાગોરસના પ્રમેયની સાબિતી (Proof) કે (ક૨ + ખર = ગર) (જ્યાં ‘ક’ અને ‘ખ’નું માપ એકસરખું હોય અને ૯૦૦ના ખૂણાનો કર્ણ ‘ગ’ હોય). આ સમીકરણ એટલું બધું સરળ અને શુદ્ધ છે કે સૌથી વધુ લોકપ્રિય પ્રતિપત્તિ છે. ભાસ્કરાચાર્યે નીચે આપેલી આકૃતિ સરળતાથી દોરી છે, અને લખે છેઃ લ્યો જુઓ!
પાયથાગોરસના પ્રમેયની આ સાબિતી (Proof)ને સમજવાની ચાવી છે – ‘કુ’, ‘ખ’ અને ‘ગ’ની રાશિને મનમાની રીતે નાની-મોટી કરવાની સમજ, જેને આપણે આજે ‘બીજગણિત’ તરીકે ઓળખીએ છીએ. ‘બીજગણિત’ની શોધ તો મધ્યયુગીન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ કરી હતી. ઉદાહરણ તરીકે, ભાસ્કરના એક ‘સૂત્ર’માં જણાવાયું છે કે,
‘બે સંખ્યાઓના તફાવતના વર્ગની સંખ્યા એ જ હોય છે જે તે બન્ને સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળામાંથી તે બન્ને સંખ્યાના ગુણાકારની બમણી સંખ્યાને બાદ કરવાથી આવે.’
તમારામાંથી મોટા ભાગના વાચકોને ખ્યાલ આવી ગયો હશે કે આ સૂત્ર એ સમીકરણનું વર્ણન છે જેને આપણે હવે આ રીતે લખીએ છીએઃ (ક – ખ)૨ = ક૨ + રકખ + ખ૨ [ (b – a)2 = a2 – 2ab + b2] આમાં આપણે આધુનિક નોંધની રીતથી એ જ બાબત કહીએ છીએ જે ભાસ્કરના સૂત્રમાં કહેવાઈ છે કે – ‘ક’ અને ‘ખ’નાં પ્રતીકો વસ્તુની માત્રા દર્શાવે છે, તેની ઉપર લખેલી સંખ્યા ‘૨’ તેનો વર્ગ બતાવે છે, તેનો સરવાળો ‘+’ની માત્રા દર્શાવે છે ‘-’ માત્રા બાદબાકી દર્શાવે છે, કે તફાવત દર્શાવે છે અને ‘=’ ની નિશાની ‘છે’ અથવા ‘સમાન છે’નો અર્થ દર્શાવે છે.
એ આશ્ચર્યપૂર્ણ બાબત છે કે ભાસ્કર કે તેના પહેલાંના અથવા પછીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ આ પ્રકારે પ્રતીત્કાત્મક (notational System) રીતે બીજગણિતમાં ગણતરી કરતા ન હતા, જે આજે આપણે આધુનિક બીજગણિતમાં જોઈએ છીએ. (આ વ્યવસ્થા યુરોપમાં ૧૫મી કે ૧૬મી સદીમાં શરૂ થયેલી જણાય છે.) તેમ છતાં, નિઃસંદેહ છે કે ભાસ્કરાચાર્યે બીજગણિતનો અત્યંત ઉચ્ચ કોટિ સુધીનો વિકાસ કર્યો, અને તેના વર્ણન માટે સંસ્કૃત સૂત્રો વગેરેનો આધાર રાખ્યો. જો આ સમયે પ્રતીકાત્મક રીત (notations)ની શરૂઆત થઈ હોત તો એ નથી કહી શકાતું કે આટલું બધું વિકસિત થઈ ચૂકેલું ગણિતશાસ્ત્ર ક્યાંનું ક્યાં પહોંચી ગયું હોત. આ એક મહત્ત્વનું પગલું હજી ભરાયું નહીં; અન્યથા ભારત બાકીની દુનિયાથી કેટલાયે શતકો આગળ નીકળી ચૂક્યું હોત..
એક મજાકના સૂરમાં ઘણી વખત કહેવાય છે કે જગતમાં ગણિતશાસ્ત્રના ક્ષેત્રે ભારતનું પ્રદાન શૂન્ય છે! (આ તો અલબત્ત મજાક છે, અને શૂન્યનો અર્થ અહીં સંખ્યા, માત્રા અને શૂન્ય ‘O’નું પ્રતીક છે). એ નિઃશંક છે કે ‘શૂન્ય’નો સિદ્ધાંત સર્વ પ્રથમ ભારતમાંથી આવ્યો છે. તેમના ગ્રંથોમાં ભાસ્કરાચાર્ય ‘શૂન્ય’ અંગે અત્યંત ચીવટપૂર્ણ વિવરણ કરે છે. આજે જાણીતા લાગતા સિદ્ધાંતોનાં સૂત્રો પણ તેમણે આપ્યાં છે.
તેમણે ‘૦’થી ભાગાકારની પણ વાત છેડી હતી. આજે શાળાઓમાં ‘૦’થી ભાગાકાર કરવામાં ખૂબ જ તકેદારી રાખવા વિષે શિક્ષકો સૂચન આપતા રહે છે. ભાસ્કરની પહેલાંના વૈજ્ઞાનિકો એટલું તો સમજ્યા હતા કે ‘૦’ થી જો ભાગાકાર કરવામાં આવે તો ન સમજી શકાય તેવું પરિણામ નીપજે. પરંતુ તે લેખકો આ વાતને પણ સ્પષ્ટ રીતે સમજી શક્યા નહોતા કે તેમાં મૂળ સમસ્યા શું હતી. આ રીતે કરેલા ભાગાકારના પરિણામને તેઓ સંસ્કૃતમાં ‘કહર’ કહેતા. પરંતુ ભાસ્કરાચાર્ય જ સર્વ પ્રથમ સમજી શક્યા કે આ ‘૦’થી ભાગાકાર કરતાં પરિણામ અનંત અથવા અનિયત પદ (infinite) આવી શકે છે. તેમણે ‘૦’થી ભાગાકાર કરવાના પરિણામને ‘ભગવાન’ જેવું કહ્યું, અને એમાં પણ થોડો અડસટ્ટો કરવાની (computation) શક્યતા જોઈ. તેઓ લખે છે : ‘પ્રલયના સમયે જેમ બધાં જ પ્રાણીઓ અનંત, અપરિવર્તનીય અસ્તિત્વમાં વિલીન થઈ જાય, અને જેમ ઉત્પત્તિના સમયે તેઓ અનંત ભગવાનમાંથી સરજાય અને છતાં આ બનાવોમાં અંનત (ભગવાન) તો પ્રભાવિત નથી થતું, તે જ રીતે જો આપણે ‘કહર’માં કંઈક માત્રા ઉમેરીએ, અથવા બાદ કરીએ, તેમ છતાં એનામાં કોઈ તફાવત થતો નથી.’ (આજે આપણે આ સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ : ∞ ± a = ∞ અને આ તદ્દન તર્કશીલ ગણત્રી છે. છતાં હવે આગળનું થોડું વાંચો.
ભાસ્કરાચાર્ય એક બીજું આશ્ચર્યકારક નિવેદન પણ કરે છે : ‘જો કોઈ સંખ્યાને શૂન્યથી ગુણીએ, અને તેના પરિણામને શૂન્યથી ભાગીએ, તો તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યા જ રહે છે.’ એટલે કે ‘(ક.૦) / ૦ = ક’. (ચેતવણી : વિદ્યાર્થીઓને અત્રે આ લેખ બાબત એક ખાસ સૂચન અને ચેતવણી આપવામાં આવે છે કે આ સમીકરણનો ઉપયોગ તમારા વર્ગમાં કરશો નહિ, કેમ કે તમને તમારા શિક્ષક કોઈ ગુણ નહિ આપે!)
આધુનિક દૃષ્ટિએ આ સમીકરણ તદ્દન વાહિયાત જણાય છે. આમાં, ગણક (ભાજ્ય) (numerator) તો ‘શૂન્ય’ છે (કોઈ પણ સંખ્યાને શૂન્યથી ગુણીએ તો પરિણામ શૂન્ય આવે) અને છેદની સંખ્યા પણ ‘શૂન્ય’ છે અને આપણે જાણીએ છીએ કે ‘૦/૦’નું કોઈ ખાસ સાંખ્યિક મૂલ્ય થઈ શકે નહિ કેમ કે તે અનિયત (indeterminate) હોવાથી આપણે તેને અંતસહિતની કે અનંતની રાશિ પણ કહી શકતા નથી). તદુપરાંત, આજે બધા વિદ્યાર્થી જાણે છે તે મુજબ ‘શૂન્ય’નો કોઈ પણ સંખ્યાથી ભાગાકાર કરીને કોઈ પ્રમાણિત સંખ્યા મેળવી શકાતી નથી. પરંતુ ભાસ્કરાચાર્યના મનમાં કંઈક બીજી જ વાત હતી. અને એને વધુ તપાસતાં જણાય છે કે તે તો અત્યંત પ્રમાણિત વાત છે. આમાં ગણિતશાસ્ત્રનાં ‘(ક.૦) / ૦ = ક’ (જે આપણે જોયું કે સત્ય ન હોય) તે સમીકરણ ઉપરાંત પણ કંઈક છે. આને માટે આપણે ગુણાકાર તેમ જ ભાગાકારની સર્વ રીતનો જ વિશેષ અભ્યાસ કરવો પડે તેમ છે. પણ તે વાત પછી.
શું ભાસ્કરાચાર્યે ‘કલનશાસ્ત્ર’ (Calculus)ની શોધ કરી લીધી હતી ખરી? કેટલાક ઇતિહાસકારોના અભિપ્રાયમાં ભાસ્કરે આ શોધ કરી હતી. મોટે ભાગે તો કલનશાસ્ત્રની શોધનું માન અંગ્રેજ વૈજ્ઞાનિક સર આઈઝેક ન્યૂટનને ફાળે નોંધવામાં આવે છે. આ ન્યૂટન અને તેના યુરોપિયન વૈજ્ઞાનિક અનુગામીઓએ ભાસ્કરાચાર્ય પછી ૫૦૦ વર્ષે આ કામ કર્યું હતું. કલનશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતો અને પ્રક્રિયાઓની શોધ પોતાના પૂર્વજોએ કરી હતી એ સંસ્કૃતિ સાથે સંકળાવાથી પોતાને પણ ગૌરવાન્વિત સમજે એવા વિદ્વાનો હોય જ છે. છેલ્લી કેટલીક સદીઓમાં થયેલા લગભગ બધા જ મહત્ત્વપૂર્ણ વૈજ્ઞાનિક અને ટૅકનૉલૉજીકલ વિકાસમાં કલનશાસ્ત્રને મૂળભૂત અને પાયાનું શાસ્ત્ર કહી શકાય તેમ છે. પૌર્વાત્ય અને પાશ્ચાત્ય વિદ્વાનો તેથી આ બાબતે પોતપોતાનાં મંતવ્યો ધરાવે છે, અને તેમાં મક્કમ રહે છે.
વિજ્ઞાનના ઇતિહાસની એ શાખા જેમાં એ વિષે અભ્યાસ થાય છે કે ‘કોણે આ સર્વપ્રથમ શોધ કરી’ તે કઈ દિશામાં હતી – પૂર્વ કે પશ્ચિમ – એનું મહત્ત્વ ખૂબ જ હોય છે. તેવે વખતે એ ચર્ચા વિદ્વત્તાપૂર્ણ હોય તો પણ કેટલીક વાર બાલીશ પણ બની જતી જણાય છે.
ભાસ્કરાચાર્યની શોધો વિષે પૂર્વના અને પશ્ચિમના વિદ્વાનોનો મત ભિન્ન ભિન્ન છે, અને તે આ મુજબ છે : ભારતીય વિદ્વાનો આ શોધનો દાવો પોતાની સંસ્કૃતિ માટે કરવામાં કોઈ વાર અતાર્કિક દલીલો પણ કરવા લાગે છે અને કહે છે કે ગણિતશાસ્ત્રમાં એવું કશું જ નથી, પછી ભલે તે કલનશાસ્ત્ર કેમ ન હોય, જે ભાસ્કરાચાર્યથી અજાણ્યું હોય. બીજી બાજુ પશ્ચિમના વિદ્વાનો એમ પૂરવાર કરવા મથે છે કે ગણિતશાસ્ત્રની આ શાખામાં ભાસ્કરાચાર્યની ચાંચ પણ ડૂબી નહોતી.
આ લેખના લેખક આ ચર્ચાનો અંત પોતાની રીતે લાવવા ઈચ્છે છે. તે એ છે કે, ભાસ્કરાચાર્યના મનમાં ચલનકલનશાસ્ત્ર (differential calculus)નાં મૂળ તત્ત્વો આવી ચૂક્યાં હતાં, અને તેની કેટલીક પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ પણ તેમણે કર્યો હતો, જે આપણે આજના આધુનિક કલનશાસ્ત્રમાં કરીએ છીએ. પણ અત્રે આપણે એ યાદ રાખવું જોઈએ કે ભાસ્કરની બધી જ ગણતરીઓ મોટે અંશે તો ખગોળશાસ્ત્રીય ગણિતના ઉપયોગના હેતુથી કરાતી હતી (જેનો પછીથી જ્યોતિષશાસ્ત્રમાં ઉપયોગ થતો.) કલનશાસ્ત્રની વિશિષ્ટ શાખા તરીકે ગણતરીઓ માંડવાને માટે તેમને કોઈ જ ખાસ કારણ હતું નહિ. જે પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સૂર્ય, ચંદ્ર, તારા અને ગ્રહન ભ્રમણની ગણતરીઓ થઈ શકતી, તેટલી તેમને માટે પૂરતી હતી.
‘તાત્કાલિક વેગના સિદ્ધાંત’ (Notion of instantaneous velocity)ની પરિભાષા કરવાનો પ્રયત્ન ભાસ્કરાચાર્યે કર્યો જરૂર હતો, પરંતુ તેને સ્પષ્ટ રૂપ આપવામાં તેઓ નિષ્ફળ રહ્યા. ચલનકલનશાસ્ત્રના ચાવીરૂપ સિદ્ધાંત ‘લક્ષ્ય લેવાની પ્રક્રિયા’ (limiting process) જેમાં ‘સામાન્ય વેગ’ (average velocity)ને ઓછા થતા જતા સમયાંતરો વળોટી જાય છે, તે અંગે ભાસ્કરના કોઈ લખાણમાં આછો સરખો પણ ઉલ્લેખ જોવા મળતો નથી. તેમ છતાં, તેમના વિશિષ્ટ રીતે વિસ્મયજનક સિદ્ધાંત ‘(ક.૦) / ૦ = ક’નો તેઓ એ રીતે ઉપયોગ કરે છે, જે પ્રક્રિયા ‘લક્ષ્ય લેવાની પ્રક્રિયા’ને ખૂબ જ મળતી આવે છે. આ નિયમાનુસાર, જો શૂન્યને અનંતાંશની રાશિ (Infinitesimal quantity) ગણીએ તો એ તાર્કિક પરિણામ મેળવી શકીએ. અને વાસ્તવમાં કલનશાસ્ત્ર આવા અનંતાંશોની રાશિઓના જ સંદર્ભમાં વિકસેલું છે.
કલનશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતોને સંપૂર્ણરૂપે વિકાસ કરવામાં ભાસ્કરાચાર્ય નિષ્ફળ ગયા હોય તેમ બને (અને તેઓ તે ક્ષેત્રમાં આગળ વધવા કદી ઈચ્છતા પણ નહોતા), પણ તે બાબતથી આપણે તેમની અનન્ય પ્રતિભાને ઓછી ન આંકવી જોઈએ. તેમણે પ્રાપ્ત કરેલી સિદ્ધિઓ આશ્ચર્યજનક જ છે. તેમણે કરેલી મોટા ભાગની શોધો, કેટલાંક સ્પષ્ટ ટૅકનિકલ કારણોસર અહીં દર્શાવવામાં આવી નથી. પણ એક અત્યંત ઉચ્ચ ઉદાહરણ લઈએ તો, (અને આ પણ તેમની ઘણી સિદ્ધિઓમાંથી એક જ છે) તે છે ‘પેલિયન’ સમીકરણનો તેમણે કરેલો ઉત્તર. ‘ય૨ – નક્ષ૨ = ૧’ નું સમીકરણ સંસ્કૃતમાં ‘ચક્રવાલ’તરીકે ઓળખાય છે. ૧૫મી સદીના બે વિખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓ હતા યૂલર અને લાગ્રેન્જ (Euler and Lagrange) જેમને આ સમીકરણના ઉત્તરને મેળવી આપવાનું શ્રેય સામાન્યત : આપવામાં આવે છે. પરંતુ સેંકડો વર્ષો અગાઉ આ સમીકરણનો સ્પષ્ટ ઉત્તર ભાસ્કરાચાર્યે આપી દીધો હતો. આધુનિક ઇતિહાસકાર કલાસ – ઑલૉફ સેલિનિયસે ૧૯૭૫માં લખ્યું છે,
‘બીજગણિતના સંપૂર્ણ ક્ષેત્રમાં યુરોપની કામગીરીમાં ભાસ્કરના સમય પછી ઘણા સમય સુધી, અને વાસ્તવમાં આપણા સમય સુધી પણ ‘ચક્રવાલ’ના અતિ સુંદર જટિલતા અને કરામતી સમીકરણની બરાબરી કરી શકે એવું કંઈ ન હતું.’
ભાષાંતર : ડૉ. સુધા નિખિલ મહેતા
(‘Global Vedanta’ સપ્ટેમ્બર, ૧૯૯૬માંથી સાભાર)
Your Content Goes Here
